Артист ушел из жизни у себя дома в Москве. Самыми известными работами Мягкова стали фильмы «Ирония судьбы или С легким паром», «Служебный роман», «Гараж», «Жестокий романс».
Мягков считался комедийным актером, но в его биографии много крупных драматических ролей. Также он выпустил несколько детективов.
Родился Мягков в Ленинграде. Окончил Ленинградский химико-технологический институт. Работал в Институте пластических масс. Карьера актера началась после того, как его заметил один из педагогов Школы-студии МХАТ, который предложил ему попробовать силы у них. После выпуска получил должность в театре «Современник».